Descubre los 'Einstein' y su Gran Misterio Matemático

Se les conoce como einsteins, no en referencia al famoso físico, sino como un juego de palabras con la expresión alemana ein stein, que significa una piedra. Aunque en este caso sería más adecuado traducirlo como una sola baldosa, refiriéndose a una forma cerrada que puede cubrir una superficie sin dejar huecos. En definitiva, una tesela, pero con características únicas que han llevado a la solución de uno de los grandes misterios matemáticos.

Las teselas o teselas tipo Einstein se caracterizan por ser aperiódicas, lo que significa que dispuestas juntas formando un mosaico, son capaces de abarcar un plano infinito en su totalidad, pero al mismo tiempo, sin formar patrones repetitivos, por lo que que no se puede discernir ningún tipo de simetría. Independientemente de cómo se divida el mosaico, cada sección es única y ninguna repite el patrón de otra. Los Einsteins son el equivalente en mosaico de los números irracionales.

Este diseño parece increíble o imposible porque cuesta imaginar que en una extensión infinita no puedan coexistir dos regiones o secciones, por pequeñas que sean, con el mismo diseño de teselación. De hecho, durante más de medio siglo, los matemáticos han dudado de que fuera posible. Y luego, en marzo de 2023, se confirmó el descubrimiento de “el sombrero”: el esquivo Einstein.

Casi nada más ser presentado al público, el sombrero fue adoptado por varios artistas y creadores como motivo de sus diseños, algunos de los cuales son auténticos juegos en sí mismos. Por ejemplo, en esta composición creada por el artista y matemático estadounidense Robert Fathauer hay que identificar cuántas camisas y cuántos sombreros hay:

En este mosaico, los sombreros se han transformado en tortugas y el desafío es identificar la otra tortuga reflejada, aquella cuya cabeza está girada hacia la izquierda:

El problema de la existencia o no existencia de este tipo de formas comenzó en 1961, cuando el matemático chino Hao Wang formuló la llamada “conjetura de Wang”, en la que sugería que cualquier conjunto de formas o teselados que puedan cubrir un espacio en su totalidad también permite una teselación periódica. Esta conjetura, sin embargo, fue refutada apenas cinco años después, en 1966, por el matemático Robert Berger, quien también identificó el primer conjunto de piezas aperiódicas: un “monstruo” de 20.426 formas de baldosas capaz de demostrar la aperiodicidad.

A partir de ese momento, muchos matemáticos se propusieron descubrir un conjunto de formas cada vez más pequeño. Esta búsqueda fue encabezada en 1974 por el brillante físico y matemático Roger Penrose, quien presentó una elegante solución basada en dos formas muy simples bautizadas “la cometa” y “el dardo”.

El físico y matemático Roger Penrose presentó una elegante solución basada en dos formas muy simples bautizadas “la cometa” y “el dardo”. Crédito: Diseño propio

Desde entonces, y a pesar de los continuos esfuerzos, nadie había conseguido reducir al mínimo el número de formas. Es decir, encontrar un diseño único capaz de teselar una superficie infinita sin ninguna periodicidad.

En este juego el objetivo es rellenar cada uno de los tableros encajando las piezas que lo acompañan:

En un giro del destino, hace unos meses, en noviembre de 2022, David Smith, un británico jubilado entusiasta de las matemáticas, logró resolver el escurridizo enigma. Primero, jugando con un programa informático que le permitía diseñar y montar diferentes formas. Luego, cuando encontró un diseño prometedor, recortó varias piezas en papel para experimentar. Fue así, casi como si estuviera jugando un juego de niños, que descubrió “el sombrero”, un polígono de 13 lados sorprendentemente sencillo que, sin embargo, cumple los requisitos para ser un Einstein. O mejor dicho, ser el primer einstein. Esta propiedad acaba de ser demostrada por el informático Craig Kaplan, a quien Smith recurrió cuando tuvo conocimiento de su descubrimiento, en colaboración con otros matemáticos, en un artículo que ha revolucionado la comunidad matemática. Más aún porque el diseño descubierto no es único, sino sólo el primero de todo un continuo de Einsteins que se obtienen modificando la proporción y el tamaño de los lados de la forma del sombrero original.

Como un juego de niños, el desafío es teselar este espacio con el sombrero. Hay que disponer 22 sombreros (el primero ya está colocado) de tal forma que cubran completamente la superficie sin salirse de los márgenes. Es recomendable utilizar el método aplicado por David Smith: recortar un conjunto de trozos de papel e intentar encajarlos.

función dropdown2() { document.getElementById("target2").style.display = "bloque"; document.getElementById("target-button2").style.display = "none"; }

Solución 1: 12 camisetas y 3 gorros

Solución tortugas: No hay una respuesta única, ¿cuál es tu apuesta?